Nội dung bài học sẽ reviews đến những em tư tưởng Giới hạn của hàm số. Ngoài ra là các dạng bài toán tính số lượng giới hạn của hàm số thuộc với mọi ví dụ minh họa được đặt theo hướng dẫn giải cụ thể sẽ giúp những em tiện lợi nắm được nội dung bài bác học.
Bạn đang xem: Bài 2 giới hạn của hàm số
1. Cầm tắt lý thuyết
1.1. Định nghĩa
1.2. Những định lí về giới hạn
1.3. Một trong những gới hạn sệt biệt
2. Bài tập minh hoạ
3.Luyện tập bài bác 2 chương 4 giải tích 11
3.1. Trắc nghiệm vềgiới hạn của hàm số
3.2. Bài bác tập SGK & nâng cao vềgiới hạn của hàm số
4.Hỏi đáp vềbài 2 chương 4 giải tích 11
a) giới hạn hàm số
Cho khoảng chừng (K) cất điểm (x_0). Ta bảo rằng hàm số (f(x)) khẳng định trên (K) (có thể trừ điểm (x_0)) có số lượng giới hạn là (L) lúc x dần dần tới (x_0) nếu với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n in Kackslash m x_0 m ) và(x_n o x_0), ta có:(f(x_n) o L). Ta kí hiệu:
(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L)hay (f(x) o L) khi(x o x_0).
b) số lượng giới hạn một bênCho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên((x_0;b)) .Số (L) hotline là số lượng giới hạn bên đề xuất của hàm số (y = f(x)) khi (x) dần dần tới (x_0) nếu với đa số dãy ((x_n):x_0 đến hàm số (y = f(x)) xác định trên((a;x_0)).Số (L) điện thoại tư vấn là số lượng giới hạn bên trái của hàm số (y = f(x)) lúc (x) dần dần tới (x_0) nếu với mọi dãy ((x_n):aChú ý: (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L Leftrightarrow mathop lim limits_x o x__0^ + f(x) = mathop lim limits_x o x__0^ - f(x) = L).
c) số lượng giới hạn tại vô cựcTa nói hàm số (y = f(x)) xác minh trên ((a; + infty )) có số lượng giới hạn là (L) lúc (x o + infty ) nếu với tất cả dãy số ((x_n):x_n > a) với (x_n o + infty ) thì (f(x_n) o L). Kí hiệu: (mathop lim limits_x o + infty f(x) = L).Ta nói hàm số (y = f(x)) khẳng định trên (( - infty ;b)) có số lượng giới hạn là (L) khi (x o - infty ) nếu với đa số dãy số ((x_n):x_n d) giới hạn vô cựcTa nói hàm số (y = f(x)) có số lượng giới hạn dần tới dương vô rất khi (x) dần tới (x_0) nếu với tất cả dãy số ((x_n):x_n o x_0) thì(f(x_n) o + infty ). Kí hiệu:(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = + infty ).Tương từ ta cũng có định nghĩa số lượng giới hạn dần về âm vô cựcTa cũng có thể có định nghĩa như trên lúc ta rứa (x_0) vị ( - infty ) hoặc( + infty ).Định lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về(L e 0)) khi (x o x_0) (hay(x o + infty ;x o - infty ) ) bởi tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn kia khi (x o x_0) (hay(x o + infty ;x o - infty )) .
Chú ý: Định lí bên trên ta chỉ vận dụng cho gần như hàm số có số lượng giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho những giới hạn dần về vô cực
Định lí 2: (Nguyên lí kẹp)
Cho bố hàm số (f(x),g(x),h(x)) khẳng định trên (K)chứa điểm (x_0) (có thể những hàm kia không khẳng định tại (x_0)). Trường hợp (g(x) le f(x) le h(x) m forall x in K)và (mathop lim limits_x o x_0 g(x) = mathop lim limits_x o x_0 h(x) = L) thì(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L).
(mathop lim limits_x o + infty atopleft( x o - infty ight) x^2k = + infty ) ; (mathop lim limits_x o + infty atopleft( x o - infty ight) x^2k + 1 = + infty ,,left( - infty ight))(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = + infty m ( - infty ) Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 frackf(x) = 0 m (k e 0)).
Bài toán 1: search (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) biết (f(x)) xác minh tại (x_0).
Phương pháp:
Nếu (f(x)) là hàm số cho vày một công thức thì giá chỉ trị giới hạn bằng (f(x_0))Nếu (f(x)) cho vì nhiều công thức, lúc đó ta sử dụng đk để hàm số có số lượng giới hạn (Giới hạn trái bằng số lượng giới hạn phải).Ví dụ 1:Tìm những giới hạn sau:
a) (mathop lim limits_x o 0 fracsin 2x + 3cos x + x2x + cos ^23x)
b) (mathop lim limits_x o 2 fracsqrt x^2 + 3 - 2xsqrt<3>x + 6 + 2x - 1)
Hướng dẫn:a) Ta có: (mathop lim limits_x o 0 fracsin 2x + 3cos x + x2x + cos ^23x = fracsin 0 + 3cos 0 + 02.0 + cos ^20 = 3)
b) Ta có: (mathop lim limits_x o 2 fracsqrt x^2 + 3 - 2xsqrt<3>x + 6 + 2x - 1 = fracsqrt 2^2 + 3 - 2.2sqrt<3>2 + 6 + 2.2 - 1 = fracsqrt 7 - 45).
Ví dụ 2:Xét xem các hàm số sau có số lượng giới hạn tại những điểm chỉ ra hay không? Nếu tất cả hay tìm giới hạn đó?
a) (f(x) = left{ eginarraylfracx^2 + 3x + 1x^2 + 2 m lúc x phía dẫn:
a) Ta có:(mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ + frac3x + 23 = frac53).
(mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - fracx^2 + 3x + 1x^2 + 2 = frac53 Rightarrow mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = frac53).
Vậy(mathop lim limits_x o 1 f(x) = frac53).
b) Ta có:(mathop lim limits_x o 0^ + f(x) = mathop lim limits_x o 0^ + (2x^2 + 3x + 1) = 1).
(mathop lim limits_x o 0^ - f(x) = mathop lim limits_x o 0^ - ( - x^2 + 3x + 2) = 2 Rightarrow mathop lim limits_x o 0^ + f(x) e mathop lim limits_x o 0^ - f(x)).
Vậy hàm số (f(x)) không có giới hạn khi(x o 0).
Ví dụ 3:Tìm (m) để các hàm số:
a) (f(x) = left{ eginarraylfracx^2 + mx + 2m + 1x + 1 m khi x ge 0\frac2x + 3m - 1sqrt 1 - x + 2 m khi x hướng dẫn:
a) Ta có: (mathop lim limits_x o 0^ + f(x) = mathop lim limits_x o 0^ + fracx^2 + mx + 2m + 1x + 1 = 2m + 1)
(mathop lim limits_x o 0^ - f(x) = mathop lim limits_x o 0^ - frac2x + 3m - 1sqrt 1 - x + 2 = frac3m - 13)
Hàm số có số lượng giới hạn khi (x o 0) khi và chỉ còn khi (mathop lim limits_x o 0^ + f(x) = mathop lim limits_x o 0^ - f(x))
( Leftrightarrow 2m + 1 = frac3m - 13 Leftrightarrow m = - frac43).
b) Ta có: (mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ + (3mx + 2m - 1) = 5m - 1)
(mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - left( fracx^2 + x - 2sqrt 1 - x + mx + 1 ight))
( = mathop lim limits_x o 1^ - left( - (x + 2)sqrt 1 - x + mx + 1 ight) = m + 1)
Hàm số có giới hạn khi (x o 1) khi và chỉ khi (mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - f(x))
( Leftrightarrow 5m - 1 = m + 1 Leftrightarrow m = frac12).
Bài toán 2: tìm (A = mathop lim limits_x o x_0 fracf(x)g(x)) trong số đó (f(x_0) = g(x_0) = 0).
Dạng này ta điện thoại tư vấn là dạng vô định(frac00).
Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu mang đến đa thức:
Định lí: Nếu nhiều thức (f(x)) gồm nghiệm (x = x_0) thì ta bao gồm :
(f(x) = (x - x_0)f_1(x)).
Nếu (f(x)) và (g(x)) là các đa thức thì ta so với (f(x) = (x - x_0)f_1(x)) và(g(x) = (x - x_0)g_1(x)). Khi đó(A = mathop lim limits_x o x_0 fracf_1(x)g_1(x)), trường hợp giới hạn này có dạng (frac00) thì ta liên tiếp quá trình như trên.Chú ý :Nếu tam thức bậc hai (ax^2 + b mx + c) có hai nghiệm (x_1,x_2) thì ta luôn có sự phân tích(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)).
Nếu (f(x)) cùng (g(x)) là các hàm đựng căn thức thì ta nhân lượng phối hợp để gửi về các đa thức, rồi phân tích những đa thức như trên.Các lượng liên hợp:
1. ((sqrt a - sqrt b )(sqrt a + sqrt b ) = a - b)
2. ((sqrt<3>a pm sqrt<3>b)(sqrt<3>a^2 mp sqrt<3>ab + sqrt<3>b^2) = a - b)
3. ((sqrt
Nếu (sqrt
(sqrt
Trong các trường hợp câu hỏi phân tích như trên không đi đến kết quả ta cần phân tích như sau:(sqrt
(a^n - b^n = (a - b)(a^n - 1 + a^n - 2b + ... + ab^n - 2 + b^n - 1)).
Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:
a) Tìm giới hạn (A = mathop lim limits_x o 1 fracx^3 - 3x^2 + 2x^2 - 4x + 3.)
b) Tìm số lượng giới hạn (B = mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 5x^2 + 4x^3 - 8.)
Hướng dẫn:a) Ta có: (A = mathop lim limits_x o 1 fracx^3 - 3x^2 + 2x^2 - 4x + 3 = mathop lim limits_x o 1 frac(x - 1)(x^2 - 2x - 2)(x - 1)(x - 3))( = mathop lim limits_x o 1 fracx^2 - 2x - 2x - 3 = frac32).
b) Ta có: (B = mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 5x^2 + 4x^3 - 8 = mathop lim limits_x o 2 frac(x^2 - 1)(x^2 - 4)x^3 - 2^3)( = mathop lim limits_x o 2 frac(x^2 - 1)(x - 2)(x + 2)(x - 2)(x^2 + 2x + 4))( = mathop lim limits_x o 2 frac(x^2 - 1)(x + 2)x^2 + 2x + 4 = 1).
Ví dụ 2:Tìm các giới hạn sau:
a) (A = mathop lim limits_x o 1 fracx^n - 1x - 1)
b) (B = mathop lim limits_x o 1 fracx^5 - 5x^3 + 2x^2 + 6x - 4x^3 - x^2 - x + 1)
Hướng dẫn:a) Ta có: (x^n - 1 = (x - 1)(x^n - 1 + x^n - 2 + ... + x + 1))
Suy ra: (fracx^n - 1x - 1 = x^n - 1 + x^n - 2 + ... + x + 1)
Do đó: (A = mathop lim limits_x o 1 left( x^n - 1 + x^n - 2 + ... + x + 1 ight) = n).
b) Ta có: (x^5 - 5x^3 + 2x^2 + 6x - 4 = (x - 1)^2(x + 2)(x^2 - 2))
(x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)^2(x + 1))
Do đó: (B = mathop lim limits_x o 1 frac(x + 2)(x^2 - 2)x + 1 = - frac32).
Ví dụ 3:Tìm những giới hạn sau:
a)(A = mathop lim limits_x o 1 fracsqrt 2x - 1 - xx^2 - 1)
b)(B = mathop lim limits_x o 2 fracsqrt<3>3x + 2 - xsqrt 3x - 2 - 2)
Lời giải:a)Ta có:(A = mathop lim limits_x o 1 frac2x - 1 - x^2(x - 1)(x + 1)(sqrt 2x - 1 + x))( = mathop lim limits_x o 1 frac - (x - 1)(x + 1)(sqrt 2x - 1 + x) = 0)
b)Ta có:(B = mathop lim limits_x o 2 frac(3x + 2 - x^3)(sqrt 3x - 2 + 2)3(x - 2)(sqrt<3>(3x + 2)^2 + 2sqrt<3>3x + 2 + 4))
( = mathop lim limits_x o 2 frac - (x^2 + 2x + 1)(sqrt 3x - 2 + 2)3(sqrt<3>(3x + 2)^2 + 2sqrt<3>3x + 2 + 4) = - 1) .
Bài toán 3: Tìm(B = mathop lim limits_x o pm infty fracf(x)g(x)), vào đó(f(x),g(x) o infty ), dạng này ta còn gọi là dạng vô định(fracinfty infty ).
Phương pháp: tương tự như bí quyết khử dạng vô định ở hàng số. Ta cần tìm giải pháp đưa về các giới hạn:
(mathop lim limits_x o + infty atop(x o - infty ) x^2k = + infty ) ; (mathop lim limits_x o + infty atop(x o - infty ) x^2k + 1 = + infty m ( - infty )).(mathop lim limits_x o + infty atop(x o - infty ) frackx^n = 0 m (n > 0;k e 0)).(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = + infty m ( - infty ) Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 frackf(x) = 0 m (k e 0)).Ví dụ 1:Tìm những giới hạn sau:
a) (A = mathop lim limits_x o + infty frac(4x + 1)^3(2x + 1)^4(3 + 2x)^7)
b) (B = mathop lim limits_x o - infty fracsqrt 4x^2 - 3x + 4 + 3xsqrt x^2 + x + 1 - x)
Hướng dẫn:a) Ta có: (A = mathop lim limits_x o + infty fracleft( 4 + frac1x ight)^3left( 2 + frac1x ight)^4left( frac3x + 2 ight)^7 = 8.)
b) Ta có: (B = mathop lim limits_x o - infty frac - sqrt 4 - frac3x + frac4x^2 + 3 - sqrt 1 + frac1x + frac1x^2 - 1 = frac12.)
Ví dụ 2:Tìm những giới hạn sau:
a) (A = mathop lim limits_x o + infty fracsqrt 2x^2 + 1 - sqrt x^2 + 1 2x + 2)
b) (B = mathop lim limits_x o - infty fracsqrt 3x^2 - 2 + sqrt x + 1 sqrt x^2 + 1 - 1)
Hướng dẫn:a) Ta có:(A = mathop lim limits_x o + infty fracleftx(2 + frac2x) = mathop lim limits_x o + infty fracsqrt 2 + frac1x^2 - sqrt 1 + frac1x^2 2 + frac2x = fracsqrt 2 - 12.) .
b) Ta có: (B = mathop lim limits_x o - infty frac x ightleft( sqrt 1 + frac1x^2 - frac1 x ight ight) = mathop lim limits_x o - infty frac - sqrt 3 - frac2x^2 - sqrt frac1x + frac1x^2 - left( sqrt 1 + frac1x^2 - frac1 ight) = sqrt 3 .)
Ví dụ 3:Tìm giới hạn (H = mathop lim limits_x o + infty left( sqrt<4>16x^4 + 3x + 1 - sqrt 4x^2 + 2 ight).)
Hướng dẫn:Ta có: (H = mathop lim limits_x o + infty fracsqrt 16x^4 + 3x + 1 - (4x^2 + 2)sqrt<4>16x^4 + 3x + 1 + sqrt 4x^2 + 2 )
( = mathop lim limits_x o + infty frac16x^4 + 3x + 1 - (4x^2 + 2)^2left( sqrt<4>16x^4 + 3x + 1 + sqrt 4x^2 + 2 ight)left( sqrt 16x^4 + 3x + 1 + 4x^2 + 2 ight))
( = mathop lim limits_x o + infty frac - 16x^2 + 3x - 3left( sqrt<4>16x^4 + 3x + 1 + sqrt 4x^2 + 2 ight)left( sqrt 16x^4 + 3x + 1 + 4x^2 + 2 ight))
Suy ra (H = 0).
Bài toán 4: Dạng vô định: (infty - infty ) và (0.infty )
Phương pháp:
Những dạng vô định này ta tìm cách chuyển đổi đưa về dạng (fracinfty infty ).
Ví dụ 1:Tìm số lượng giới hạn (A = mathop lim limits_x o + infty left( sqrt x^2 - x + 1 - x ight).)
Hướng dẫn:Ta có: (A = mathop lim limits_x o + infty frac(sqrt x^2 - x + 1 - x)(sqrt x^2 - x + 1 + x)sqrt x^2 - x + 1 + x)
( = mathop lim limits_x o + infty fracx^2 - x + 1 - x^2sqrt x^2 - x + 1 + x = mathop lim limits_x o + infty frac - x + 1sqrt x^2 - x + 1 + x = - frac12).
Ví dụ 2:Tìm giới hạn (B = mathop lim limits_x o - infty left( 2x + sqrt 4x^2 - x + 1 ight).)
Hướng dẫn:(B = mathop lim limits_x o - infty frac(2x - sqrt 4x^2 - x + 1 )(2x + sqrt 4x^2 - x + 1 )2x - sqrt 4x^2 - x + 1 )( = mathop lim limits_x o - infty fracx + 12x - sqrt 4x^2 - x + 1 = frac14).
Ví dụ 3:Tìm những giới hạn sau:(A = mathop lim limits_x o - infty (sqrt<3>x^3 - 3x^2 + sqrt x^2 - 2x ))
Hướng dẫn:Ta có: (sqrt<3>x^3 - 3x^2 + sqrt x^2 - 2x = (sqrt<3>x^3 - 3x^2 - x) + (sqrt x^2 - 2x + x))
( = frac - 3x^2sqrt<3>(x^3 - 3x^2)^2 + xsqrt<3>x^3 - 3x^2 + x^2 + frac - 2xsqrt x^2 - 2x - x)
( Rightarrow A = mathop lim limits_x o - infty frac - 3sqrt<3>(1 - frac3x)^2 + sqrt<3>1 - frac3x + 1 + mathop lim limits_x o - infty frac - 2 - sqrt 1 - frac2x - 1 = 0).
Bài toán 5: Dạng vô định các hàm lượng giác
Phương pháp:
Ta sử dụng các công thức lượng giác đổi khác về những dạng sau:
( ullet )(mathop lim limits_x o 0 fracsin xx = mathop lim limits_x o 0 fracxsin x = 1), từ đây suy ra(mathop lim limits_x o 0 frac an xx = mathop lim limits_x o 0 fracx an x = 1).
( ullet ) trường hợp (mathop lim limits_x o x_0 u(x) = 0 Rightarrow mathop lim limits_x o x_0 fracsin u(x)u(x) = 1) và(mathop lim limits_x o x_0 frac an u(x)u(x) = 1).
Ví dụ 1:Tìm giới hạn (A = mathop lim limits_x o 0 frac1 - cos axx^2.)
Hướng dẫn:Ta có:(A = mathop lim limits_x o 0 frac2sin ^2fracax2x^2 = fraca2mathop lim limits_x o 0 left( fracsin fracax2fracax2 ight)^2 = fraca2).
Ví dụ 2:Tìm giới hạn (B = mathop lim limits_x o 0 fraccos 2x - cos 3xx(sin 3x - sin 4x).)
Hướng dẫn:(B = mathop lim limits_x o 0 frac2sin frac5x2sin fracx2 - 2xcos frac7x2sin fracx2 = - mathop lim limits_x o 0 (frac52.fracsin frac5x2frac5x2).mathop lim limits_x o 0 frac1cos frac7x2 = frac52).
Ví dụ 3:Tìm các giới hạn sau:
a)(A = mathop lim limits_x o 0 x^3sin frac1x^2)
b)(B = mathop lim limits_x o + infty left( 2sin x + cos ^3x ight)left( sqrt x + 1 - sqrt x ight))
Hướng dẫn:a) Ta có: (0 le left| x^3sin frac1x^2 ight| le x^3)
Mà (mathop lim limits_x o 0 x^3 = 0 Rightarrow mathop lim limits_x o 0 left| x^3sin frac1x^2 ight| = 0 Rightarrow mathop lim limits_x o 0 x^3sin frac1x^2 = 0)
Vậy (A = 0).
Xem thêm: Top 12 Bài Văn Phân Tích Nhân Vật Bé Thu Trong Tác Phẩm Chiếc Lược Ngà
b) Ta có: (B = mathop lim limits_x o + infty frac2sin x + cos ^3xsqrt x + 1 + sqrt x )
Mà: (0 le left| frac2sin x + cos ^2xsqrt x + 1 + sqrt x ight| le frac3sqrt x + 1 + sqrt x o 0) lúc (x o + infty ).